Entonces un día descubrió en una librería el libro “Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” de Benoît Mandelbrot, que hablaba de geometría fractal en la naturaleza.
En su libro Mandelbrot decía que muchas de las formas de la naturaleza podían ser descritas de forma matemática con lo que él llamó fractales, objetos geométricos fragmentados o aparentemente irregulares. Mandelbrot decía que podemos conseguir un fractal cogiendo una forma de aspecto suave y fragmentándola una y otra vez y proponía no fijarse en la complejidad que veíamos en la naturaleza sino en el motivo de dicha complejidad.
Así que Carpenter decidió intentarlo con su ordenador y el método que usó fue tal que así: empezó con un paisaje hecho de triángulos muy básicos y grandes y luego dividió cada uno en 4 triángulos más pequeños, para dividir éstos de nuevo y así una y otra vez, repeticiones interminables que en las matemáticas se las conoce como iteraciones, una de las claves de la geometría fractal.
Consiguió imágenes que nadie había visto jamás, considerablemente realistas y con mucho detalle,con lo que a partir de ese momento todo el mundo empezó a utilizar la misma técnica.
Uno de los rasgos más característicos de los fractales es la autosimilitud, el hecho de que si alejas o acercas un objeto, éste siempre tiene la misma apariencia. La totalidad del fractal es igual que cualquiera de sus partes, que es igual a otro trozo más pequeño… la similitud del patrón no deja de sucederse. Uno de los ejemplos más representativos de la autosimilitud es un árbol, en el que si miramos cada uno de los nodos en los que se ramifica, el patrón que sigue es muy similar en todo el árbol. A medida que vamos subiendo desde la base hasta arriba se va viendo cómo las ramas madre se ramifican del mismo modo en ramas hijas, repitiéndose el patrón de ramificación a lo largo del árbol.
Pero la autosimilitud se encuentra en todas partes: desde el tallo del romanescu a la superficie lunar o a las arterias que transportan la sangre por nuestro cuerpo.
La fascinación de Mandelbrot por estas formas irregulares le llevó a estar en contra de siglos de tradición matemática, ya que en el campo de la ciencia y las matemáticas la suavidad lo era todo: líneas rectas, círculos, triángulos y perfectas formas geométricas, todo extremadamente regular; lo que hizo él fue descubrir la rugosidad, gracias a lo cual se empezó a investigar este nuevo aspecto.
Las matemáticas clásicas habían servido para estudiar todo lo que se ha creado por el hombre, pero las matemáticas fractales sirven para estudiar los patrones de la naturaleza, lo que ya estaba allí antes de que nosotros llegáramos al planeta y que parece ser que no habíamos visto.
Así pues Mandelbrot introdujo en los aoñs 70 esta nueva idea, en la que fórmulas podrían describir las nubes, las plantas, etc., un tipo diferente de geometría.
Pero los fractales no eran del todo desconocidos anteriormente a Mandelbrot. Un ejemplo era el pintor y grabador japonés del siglo XIX Katsushika Hokusai, del que hablaba Mandelbrot en su libro diciendo que se trataba de un artista que dibujaba fractales, mostrando algunas de sus obras como las nubes que se ven en “Tormenta por el monte Fuji” o “La gran ola de Kanagawa”.
La atracción de Mandelbrot por las formas matemáticas comenzó ya de joven, cuando era estudiante, diferenciándose del resto ya que veía cosas que nadie más parecía sospechar. Fue en enero de 1944 cuando se enamoró de las matemáticas, pero no de las matemáticas en general sino de la geometría en su forma más sensual, allá donde se encontraban las matemáticas y la vista; su profesor hablaba de álgebra pero él veía en su mente figuras geométricas que encajaban con esa álgebra.
Descubrió algo de lo que no se había dado cuenta antes: sabía transformar en su mente, de manera instantánea, fórmulas en imágenes.
Mandelbrot era judío y vivió en Francia durante la ocupación nazi, aunque eludió ser arrestado y deportado. Después de la guerra obtuvo el doctorado e intentó dar clases en una universidad francesa pero le dijeron que no encajaba en ese centro. Finalmente entró a trabajar en IBM, que en ese entonces, 1958, estaba desarrollando el ordenador y que buscaba pensadores creativos e inconformistas como Mandelbrot, con lo que parecía un trabajo perfecto para él.
En una ocasión sus compañeros le comentaron un problema que preocupaba mucho a la empresa: los ingenieros de IBM estaban transmitiendo información entre ordenadores a través de los cables de teléfono, pero en ocasiones la información no llegaba; se dieron cuenta que de vez en cuanto los cables hacían demasiado ruido, se producían muchos errores. Así que Mandelbrot trazó la información del ruido y lo que vio le sorprendió; sin tener en cuenta la escala de tiempo, el gráfico resultaba idéntico: un día, una hora, un segundo… daba igual, era el mismo patrón en cada ocasión. Se trataba de una autosimilitud real.
Esto le recordó algo que le había intrigado de joven, un misterio matemático que databa de hacía unos 100 años, el misterio de los monstruos. La historia de este misterio comienza a finales del siglo XIX, momento en el que los matemáticos habían descrito formalmente cómo debía ser una curva pero dentro de esa descripción había elementos que si bien satisfacían la definición de una curva, eran tan raros que ni podían dibujarlos o tan siquiera pensar en dibujarlos.
Por eso eran vistos como monstruos o cosas más allá de lo real, ya que no eran líneas ni círculos, eran algo muy extraño…
El matemático alemán Georg Cantor creó el primero de estos monstruos en 1883 dibujando una línea, dividiéndola en 3 partes y eliminando el tercio del medio, con lo que sólo quedaban 2 partes. Esas 2 partes las dividió en 3 partes más cada una, eliminando la parte del medio de nuevo, y así ad infinitum. Se podría pensar que haciendo esto al final no quedaba nada, ni un punto, pero sucedía todo lo contrario; quedaban infinidad de puntos.
A esto se le llamó El conjunto de Cantor. Si lo acercamos, el patrón sigue siendo el mismo, algo que se parecía mucho a los patrones de ruido que Mandelbrot había visto en IBM con las transmisiones por los cables de teléfono.
Otra forma extraña fue presentada por el matemático sueco Helge von Koch: primero se dibuja un triángulo equilátero, una de las figuras geométricas clásicas, y en cada lado se toma una parte y se substituye por dos partes que son más grandes que la parte original, y cada una de ellas se substituye por dos partes que son ahora más grandes que la original, y así una y otra vez… Al final se obtiene la misma forma pero cada línea tiene un nuevo triángulo, haciendo así la línea cada vez más larga (lo entenderás mejor con la animación que hay al final de la entrada).
Copo de nieve de Koch, también conocido como estrella o curva de Koch, otro de los grandes monstruos
La curva de Koch es una paradoja ya que a la vista parece finita pero matemáticamente es infinita, lo que supone que no se puede medir, motivo por el cual se la llamó curva patológica en ese entonces, ya que no tenía sentido según la forma de pensar de esa época en cuanto a las medidas, las curvas, etc.
Pero la curva de Koch resultaría ser crucial para resolver un problema persistente de medida: la longitud de una costa.
En 1940, el científico británico Lewis Richardson había observado que podía haber mucha variación entre las diferentes medidas de una costa. A la hora de medir una, cuanto más pequeña era la regla más larga parecía ser la costa.
Mandelbrot descubrió que cuanto más finos fueran los entrantes de la curva de Koch mejor, ya que era lo que se necesitaba precisamente para modelar las costas. Escribió en 1967 un artículo muy famoso en la revista Science llamado “¿Cuanto mide la costa de Gran Bretaña?”. Según él, en términos geométricos, una costa es fractal, y aunque sabía que no se podía medir la longitud, sospechó que podía medir algo más: su rugosidad.
Para poder hacerlo necesitaba replantearse uno de los conceptos más básicos de las matemáticas: la dimensión, y es que Mandelbrot aseveró que a mayor rugosidad, mayor es su dimensión fractal.
En la geometría convencional cuando se habla de una dimensión se trata de una línea recta, 2 dimensiones sería el área de la superficie de una caja, por ejemplo, y 3 dimensiones sería un cubo. Pero lo que hace la geometría fractal es proporcionar una forma de contemplar el mundo en el que vivimos, en especial el mundo de los seres vivos, de una manera extremadamente precisa.
Los ordenadores facilitaron a Mandelbrot la realización de iteraciones, los ciclos interminables y repetitivos de cálculo que exigían los monstruos matemáticos. Así que decidió dirigir la atención hacia otro monstruo, un problema que planteó un joven matemático francés llamadoGaston Julia durante la Primera Guerra Mundial.
Gaston quería averiguar qué sucedía cuando se tomaba una simple ecuación y se iteraba mediante un bucle de retroalimentación, es decir, se tomaba un número, se introducía en la fórmula y se extraía otro número. Se tomaba ese número y de vuelta al principio, se introducía en la misma fórmula, se extraía otro número, se iteraba, y así una y otra vez.
La serie de números que se obtienen se denomina conjunto, en este caso el conjunto de Julia. Pero haciéndolo a mano no había forma de saber cómo quedaba todo el conjunto, con lo cual era imprescindible el uso de ordenadores más rápidos.
Mandelbrot hizo en IBM lo que Julia no pudo: usar un ordenador para realizar las ecuaciones millones de veces. Luego transformó los números del conjunto de Julia en puntos en un gráfico. Las imágenes resultantes hicieron que en 1980 creara su propia ecuación, una que combinaba todo el conjunto de Julia en una sola imagen. Y esta imagen resultante, los números dibujados en la pantalla, se convertiría en el emblema de la geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot, cuya fórmula es:
f(z) = z^2 + c
Y éste es el Conjunto de Cantor, uno de los monstruos matemáticos
Mediante esta misteriosa imagen Mandelbrot estaba planteando un atrevido desafío a ideas que venían de lejos acerca de los límites de las matemáticas. La gente empezó a ver formas que siempre habían estado allí pero que, del mismo modo, siempre habían sido invisibles.
El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo de lo que se puede hacer en la geometría fractal, de la misma manera que sucedía con el círculo en su momento, que era el arquetipo de la geometría clásica.
Una de las primeras cosas que supusieron las imágenes de Mandelbrot fue el impulso de una moda pasajera en la cultura popular, ya que todo el mundo quería tener fractales donde fuera.
A finales de los 70, por ejemplo, Jhane Barnes creó un negocio de diseño de ropa masculina, pero luego descubrió los fractales y se dio cuenta que las reglas simples que los formaban podían utilizarse para crear complicados diseños. Como no dominaba los ordenadores ni los fractales, buscó ayuda en dos personas que sí tenían mucha idea de ambas cosas: Bill Jones y Dana Cartwright, que crearon un programa para que pudiera hacer los diseños fácilmente.
El mismo tipo de principios de diseño de fractales ha transformado completamente la magia de los efectos especiales (conocidos en su barrio como FX). Un ejemplo se da en “Star Wars: el episodio III, la venganza de los Sith”, por ejemplo, en la escena crucial con lava donde Obi-Wan y Anakin (el futuro y glorioso Darth Vader) se encuentran en el extremo de uno de los brazos mecánicos gigantes y mientras tanto la lava salpica el brazo. El chorro que expulsa lava fue realizado usando una espiral fractal, realizada por ILM (que fue parida por Lucasfilm).
Al principio el establishment, atrapado como estaba en el viejo paradigma, no consideraba a Mandelbrot como un matemático, sino un mal matemático, argumentando que lo suyo no eran matemáticas y que la geometría fractal no servía para nada. Incluso sus compañeros le dieron la espalda.Él defendía que los fractales eran una rama de la geometría igual que la de Euclides. Tenía claro que existía el rumor de que los fractales eran imágenes bonitas que no servían para nada, pero respondió a sus críticos con su nuevo libro, “La geometría fractal de la naturaleza”, que estaba lleno de ejemplos de cómo sus ideas podían ser aplicadas a la ciencia. Argumentaba que los fractales podían medir con precisión formas naturales y realizar cálculos que podían aplicarse a todo tipo de formaciones, desde los patrones de canalización de los ríos hasta al movimiento de las nubes.
Este segundo libro fue lo que convenció a los escépticos de que la geometría fractal no se trataba de una mera obra de arte, sino de una nueva ciencia, una nueva y novedosa forma de ver el mundo en el que vivimos que permitía no sólo contemplarlo y medirlo sino aplicar las matemáticas y entenderlo con mayor profundidad que antes. Los fractales dejaron de ser una moda para pasar a ser útiles para la ciencia.
En los años 90 un radioastrónomo llamado Nathan Cohen hizo uso de las matemáticas fractales para realizar un gran avance tecnológico en las comunicaciones electrónicas.Cohen tenía una afición, era un radioaficionado, pero su casero tenía una norma en contra de la instalación de antenas en el edificio, lo cual era un problema.
En una ocasión fue a una conferencia sobre astronomía en Hungría donde Mandelbrot estaba dando una charla sobre la gran escala de la estructura del universo y sobre el hecho de que utilizar fractales era una buena forma de entender ese tipo de estructura, algo que hizo enloquecer a todos los astrónomos presentes. En la charla Mandelbrot mostró una serie de fractales y Cohen pensó que sería curioso hacer una antena con una de esas formas para ver qué sucedía.Uno de sus primeros diseños estaba inspirado en uno de los monstruos del siglo XIX que hemos mencionado antes, la curva o copo de nieve de Koch. Cogió un alambre, lo dobló con la forma del “monstruo” y lo enganchó a una antena, quedándose sorprendido porque funcionó desde el primer momento y además muy bien. Descubrió que la antena podía ser mucho más pequeña si usaba el diseño fractal, lo cual le sirvió para escabullirse de su casero.
Pero además sus experimentos le llevaron a otro descubrimiento. Utilizando el diseño fractal no sólo conseguía antenas más pequeñas, sino que le permitía recibir un rango mayor defrecuencias. Usando fractales con la antena conseguía un ancho de banda amplio que le llevó a preguntarse por qué sucedía eso, qué tenía la naturaleza que le pedía a uno utilizar fractales para llegar a ese avance…
El resultado a esta pregunta era un teorema matemático que demostraba que si quieres conseguir que algo funcione como una antena con un rango muy amplio de frecuencias se requiere autosimilitud, tiene que tener una forma fractal para que funcione, y esa era precisamente la solución exacta, aunque no había una única forma de hacerlo.
Cohen llevó a cabo este descubrimiento en una época en que las compañías móviles se enfrentaban a un problema, y es que estaban ofreciendo sus últimos adelantos a sus clientes,bluetooth, walkie-talkie y wifi, pero cada uno de ellos actúa con una frecuencia diferente, por lo tanto hay que ser capaz de usar todas esas frecuencias sin tener que usar enormes antenas.
En la actualidad las antenas fractales se utilizan en millones y millones de teléfonos móviles en todo el mundo, del mismo modo que en otros dispositivos con comunicaciones inalámbricas. Y en los próximos años se seguirán utilizando fractales ya que se considera la única manera de conseguir costes más bajos y a escalas más pequeñas para todas las complejas necesidades de comunicaciones que tenemos.Al pensar que un ingeniero acaba utilizando fractales en muchísimos contextos distintos se comprende mejor porqué la naturaleza, que es más sabía, lo emplea de tantas formas.Y es que la geometría fractal ocurre constantemente.
En Toronto, por ejemplo, algunos biofísicos vieron los fractales como una herramienta práctica, una forma de desarrollar modelos matemáticos que pueden ayudar a diagnosticar casos de cáncer más prematuramente. Por ejemplo para detectar tumores muy pequeños, algo que siempre ha sido difícil con el uso de ultrasonidos, ya que se trata de ver un conjunto de vasos sanguíneos que se forman junto al tumor, y estamos hablando de ver estructuras que son tan sólo unas cuantas décimas en una millonésima de un metro.
Así que estos biofísicos utilizaron la estructura fractal para realizar un modelo matemático. Con los fractales se obtienen unas pautas simples con las que crear modelos, y si se cambian algunos parámetros del modelo, se puede cambiar la apariencia de la estructura.
En un riñón, por ejemplo, se puede observar el flujo de la sangre a través de vasos sanguíneos normales y luego mediante los vasos que subministran un tumor cancerígeno. Ambos tipos de estructuras tienen dimensiones fractales muy diferentes; en vez de bifurcarse de forma ordenada como si se tratara de un árbol, como sucede en el caso de los vasos sanguíneos normales, la vasculatura tumoral resulta caótica, enmarañada y desorganizada.
Los fractales también están sirviendo para entender por qué los animales más grandes emplean la energía de una manera más eficaz que los pequeños. Por ejemplo, un elefante pesa 200.000 veces más que un ratón y sin embargo sólo utiliza 10.000 veces más energía, en forma calorías consumidas. Cuanto más grande eres, menos energía por gramo de tejido necesitas para estar vivo. Y esta relación entre la masa y la energía empleada por cualquier ser vivo está determinada por una mera fórmula matemática, E=M¾, conocida como ley de Kleiber. Esta ley es universal en los seres vivos, aplicándose desde la más pequeña de las bacterias hasta las ballenas o las secuoyas.
El sistema circulatorio, el respiratorio, los sistemas renal y nervioso, siguen esquemas fractales que saltan a la vista una vez se observan con detenimiento. Y si todo esto es así, si todas estas redes biológicas siguen los fractales, es que obedecen unas simples reglas matemáticas, lo cual puede hacer que entendamos mejor su funcionamiento.
En 1997 los biólogos James Brown, Brian Enquist y el físico Jeffrey West publicaron su polémica teoría de que los fractales albergaban la clave a la misteriosa relación entre la masa y el consumo de energía utilizada por los animales, otra nueva muestra de la importancia de los fractales.
La geometría fractal podría ayudar a resolver también los problemas que se plantean al querer saber cuanto CO2 es capaz de absorver un bosque. Midiendo el ancho y la longitud de las ramas para saber su estructura fractal, y también midiendo cuanto CO2 contiene una sola hoja, haciendo uso de la regla de la ramificación fractal se puede saber cuanta cantidad será capaz de absorber todo el árbol. Y de allí se podría averiguar el mismo dato para todo el bosque.
Lo curioso del experimento es que la distribución de tamaños de los árboles individuales del bosque parece coincidir a la perfección con la distribución con los tamaños de cada rama de un solo árbol, y es lo que hace que estudiando un solo árbol se pueda saber cuanto CO2 absorbe el bosque completo.
Queda patente con todos estos ejemplos, pues, que la geometría fractal nos lleva a un entendimiento completamente nuevo que nos rebela un orden subyacente determinado por unas meras reglas matemáticas, y lo asombroso es que se puede traducir lo que vemos en la naturaleza al lenguaje de las matemáticas gracias a los fractales.
